Можно разрезать квадрат на пять частей и переместить Rdie так, чтобы получилась правильная квадратная пирамида. Можно ли создать минимальное количество деталей?
Подсказка 1
(a) Разрежьте квадрат на четыре части, соединив центры соседних сторон.
Подсказка 2
(b) Можно создать минимальное количество деталей.
Решение
(α) Квадрат из шелка 2 a разрезают на четыре части, соединяя центры соседних сторон, так что разрезанный треугольник переходит в центральный квадрат и соответствует прямому углу и углу ноги, одному звездному квадрату (рис. 1). Легко доказать, что на самом деле она честная и что все стороны равны Ǿ sqrt2 . Это означает, что она представляет собой фактическую четырехстороннюю пирамиду развития. Основанием пирамиды является центральный белый квадрат, а прилегающие к нему похожие треугольники — стороны.
(b) Возможно. Предполагается, что невыпуклый семиугольник, похожий на ракету (рис. 2, слева), является развитием настоящей квадратной пирамиды. . Видно, что этот свип можно фактически сложить из одного квадрата и разрезать на четыре части. Поверхность всей салфетки должна быть равна \(a^2(1+ \ sqrt3)\), а стороны аналогичного квадрата ABCD должны быть равны \(a \ sqrt). Постройте квадрат ABCD так, чтобы половина M выпала из сторон в центре квадрата, который является основанием пирамиды (рис. 2, справа). Благодаря такому построению, пятиугольники 1 и 1 ‘ одинаковы, так как симметричны относительно точки M. Если исходить из тех же соображений, то пятиугольники 2 и 2 ‘ также одинаковы. Но между ними треугольники 3 и 3’ также одинаковы. Это означает, что салфетка «ракета» и квадрат ABCD построены одинаково. ‘, 3’ и 4), протрите «ракеты», чтобы собрать их вместе и сложить пирамиду.
Послесловие
Проблема отрезков известна среди арифметиков, и вывод этих проблем почти всегда является чем-то вроде маленького открытия. Докажите это на примере текущей проблемы и отследите ее состояние.
Все головоломки, которые я придумал, сначала были решены моими студентами. И иногда им удается найти новые выводы, прекрасные выводы людей-авторов. Например, в этом задании. Его необычный и естественный вывод нашел Иван Кушнарев, член математической гимназии с июня по август. Это показано на рисунке 3. Все отрезки на этой диаграмме показаны одним контуром и имеют длину ≪, отрезки, показанные двумя контурами, имеют длину ≪, а квадрат разрезан на два пятиугольника и три треугольника. Можно разработать пирамиду правильного квадрата, изображенную справа.
Позднее эта задача была опубликована в журнале «Школьная математика». Это один из выводов, переданных впоследствии В школе. 4 слева показан квадрат, разрезанный на четыре дельты и меньшие квадраты. Опять же, все части, обозначенные одной чертой, равны одной четверти стороны разрезаемого квадрата, а часть, обозначенная двумя штрихами, равна его половине. С правой стороны вы увидите «пинвилы», сложенные из этих квадратов. Такие качели считаются пирамидой. Пунктирная линия над ними показывает грань настоящей пирамиды, основание которой, вероятно, представляет собой желтоватый квадрат. Кстати, этот способ резки приводит к пирамиде из предыдущего вывода.
В августе 2017 года эта задача победила в конкурсной группе Facebook «Математические задачи и головоломки». Участники этого конкурса сделали довольно много выводов.
Например, Константин Кнооп заключает. По обе стороны от первого квадрата нужно вырезать однородные треугольники так, чтобы при их размещении получился восьмиугольник, более вместительный, чем прямая пирамида (рис. 5).
Более того, основываясь на выводе известной ортогональной задачи «Вертушка», Константин динамически рисует в геогебре. Это дало бесконечное число выводов с различными пирамидами. Поскольку стороны одинаково треугольные, все пирамиды прямые, но размер варьируется от 45° до 90° из-за различных углов при вершине. Рисунок. 6 показан вывод, что из квадрата выходит правильная пирамида с углом при вершине 60°. Здесь можно увидеть динамический рисунок.
Решение пункта б) было предложено А. Домашенко. Его находят с помощью двух прокуроров. Кабинет первого прокурора покрыт симметричным разворотом настоящей пирамиды, похожей на ракету, а второй сарай облицован квадратами, равными этому развороту пирамиды (рис. 7).
Наложение данного паркета создает мозаику, которая позволяет рассмотреть заключение точки В выше (рис. 8).
Уже более 20 лет проводятся ежегодные соревнования между российскими и украинскими командами по решению головоломок. В 2017 году организаторы этих соревнований включили задачу, обсуждаемую здесь в номерах соревнований, что принесло команде РФ победные очки.
Треугольник разрезается отрезком прямой, соединяющим центры соседних сторон квадрата, а затем аналогичной трапецией с равными боковыми сторонами и минимальным основанием. В результате первые четыре стороны превращаются в три части. Треугольные, трапециевидные и невыпуклые Хевенхук. Из этих фигур образуются 11 прямых углов, которые считаются развилками прямоугольной пирамиды. На рисунке 9 показан правый пунктирный отрезок для плиссированной части пирамиды, которая считается ребром пирамиды. Он также показывает, что даже при разрезании на три части существует бесконечное количество типов выводов.
В итоге можно сказать, что квадрат может разрезать ряд на две или более частей каждый. Имеется также «разрез» на одну часть. Можно загнуть углы от квадрата к центру, чтобы получить настоящую четырехгранную «пирамиду» с нулевой высоты. Если это считать выводом, то остается только случай n = 2. Существует ли благоприятное разделение между двумя частями?
Удивительно, что все новые заявления по этому вопросу повлияли на новые выводы и прогресс. Я бы хотел, чтобы это происходило в ‘Elements’.
